One-Dimensional Diffusions and Stochastic Differential Equations (WS 2023/2024)
Dozent: JProf. Dr. David Criens
Assistenz: N. N.
Termin: Do, 12:00-14:00, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Übungen: Mo, 14:00-16:00, SR 232, Ernst-Zermelo-Str. 1
Das zentrale Thema der Vorlesung sind reellwertige reguläre starke Markovprozess mit stetigen Pfaden, sogenannte Diffusionen. Diese Klasse von stochastischen Prozessen ist aus vielerlei Hinsicht besonders interessant. Auf der einen Seite können Diffusionen mit einer Vielzahl von wahrscheinlichkeitstheoretischen sowie analytischen Techniken analysiert werden, was die Klasse aus mathematischer Sicht sehr interessant macht. Auf der anderen Seite sind Diffusionen auch in der angewandten Mathematik, wie der Finanzmathematik oder der mathematischen Biologie, geschätzte stochastische Modelle für verschiedenste Effekte.
In der Vorlesung werden wir Diffusionen aus mehreren Blickwinkeln studieren. Wir lernen Pfadeigenschaften, wie Rekurrenz, Transienz und Randwertverhalten, kennen, besprechen die Konzepte von „speed and scale“ und betrachten analytische Beschreibungen über sogenannte Erzeuger. Außerdem werden wir sehen, dass alle Diffusionen über einen „Wechsel von Raum und Zeit" aus der Brown’schen Bewegung entstehen.
Schlussendlich diskutieren wir die große Klasse der Diffusionen, die als (schwache) Lösungen von stochastischen Differenzialgleichungen beschrieben werden können. Wenn es die Zeit erlaubt besprechen wir auch Anwendungen von Diffusionen in der Finanzmathematik.
Aktuelles
Der Übungstermin wird in der ersten Vorlesung festgelegt.
Übungen
Übungsblätter und das Vorlesungsskript werden über ILIAS zur Verfügung gestellt. Das zum Beitritt notwendige Kurspasswort wird in der ersten Vorlesung bekanntgegeben.
Studien- und Prüfungsleistung
Literatur
L. Breiman. Probability. SIAM, 1992.
D. Freedman. Brownian motion and diffusion. Springer NY, 1983.
O. Kallenberg. Foundations of modern probability. Springer Cham, 3rd. ed., 2021.
L.C.G. Rogers and D. Williams. Diffusions, Markov processes and martingales: Volume II Ito calculus. Cambridge University Press, 2nd ed., 2014.
Notwendige Vorkenntnisse
notwendig: Wahrscheinlichkeitstheorie
nützlich: Stochastische Prozesse (kann auch parallel gehört werden)
Sprechstunden
Sprechstunde Dozent: nach Vereinbarung
Sprechstunde Assistent: nach Vereinbarung