Informationen zum Seminar Stochastik auf Mannigfaltigkeiten (WS 2017/18)

Allgemeines

Dozent: JProf. Dr. Philipp Harms, Raum 244, Eckerstr. 1, philipp.harms@stochastik.uni-freiburg.de
Vorbesprechung: Donnerstag 19. Oktober 16:15
Seminar: Wird noch vereinbart, Seminarraum 125, Eckerstraße 1.
Sprechstunde: Mittwochs, 11:00-12:00 oder nach Vereinbarung.

Wir werden uns mit der Beschreibung von stochastischen Prozessen auf Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von stochastischen Differentialgleichungen, Martingalproblemen und Markovschen Halbgruppen beschäftigen. Dies ist ein fortgeschrittenes, jedoch gut verstandenes Thema.
Die geometrische Sichtweise ermöglicht ein vertieftes Verständnis der Theorie stochastischer Prozesse (Invarianzresultate, asymptotische Entwickungen der Dichte, etc.).
Umgekehrt ermöglichen stochastische Methoden neue Sichtweisen auf geometrische Fragestellungen (stochastische Darstellung von Lösungen partieller Differentialgleichungen und von geometrischen Flüssen, Transportprobleme, Indexsatz von Atiyah-Singer, etc.).
Je nach Zeit und Interesse werden wir auf einige Anwendungen eingehen (Asymptotik von Optionspreisen, Existenz endlichdimensionaler Realisierungen von Zinsmodellen, Stochastik auf Räumen von geometrischen Figuren und weitere Themen nach Wahl).

Notwendige Vorkenntnisse: Kenntnisse im Rahmen der Vorlesung Stochastische Prozesse
Nützliche Vorkenntnisse: Kenntnisse im Rahmen der Vorlesung Elementare Differentialgeometrie

Donnerstag 19. Oktober 2017, 16:15 Uhr: Vorbesprechung mit Themenvergabe und Einführung.
Donnerstag 16. November 2017, 13:00-16:00 Uhr: Definitionen und Konstruktion von Brownscher Bewegung; stochastische Integration bzgl. Brownscher Bewegung
Donnerstag 7. Dezember 2017, 13:00-16:00 Uhr: Semimartingale, Ito Formel, Stratonovich-Integral, stochastische Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten
Donnerstag 25. Januar 2018, 13:00-16:00: Martingalprobleme auf Mannigfaltigkeiten, stochastische Differentialgleichungen mit Hilfe von Jets
Donnerstag 8. Februar 2018, 15:00-17:00: Horizontale lifts von Semimartingalen auf Rahmenbündel und Brownsche Bewegung als SDE
Donnerstag 12. Juli 2018, 15:00-17:00: Brownsche Bewegung und Atiyah Singer Indextheoreme
Donnerstag 20. Dezember 2018, 12:30-15:30: Reihenentwicklungen des Wärmeleitungskerns (Seminarraum 119)

J. Armstrong, D. Brigo (2017), Coordinate-free Stochastic Differential Equations as Jets. arXiv:1602.03931v5
N. Berline, E. Getzler, M. Vergne (2003). Heat kernels and Dirac operators. Springer.
W. Hackenbroch and A. Thalmaier (1994), Stochastische Analysis. B. G. Teubner, Stuttgart.
E. P. Hsu (2002), Stochastic Analysis on Manifolds. American Mathematical Society, Providence, RI.
J. Roe (2013), Elliptic operators, topology, and asymptotic methods. Chapman & Hall.
D. W. Stroock (2000), An introduction to the analysis of Paths on a Riemannian Manifold. American Mathematical Society, Providence, RI.
J. Teichmann (2017), Foundations of Martingale Theory and Stochastic Calculus from a Finance Perspective. Lecture Notes, ETH Zurich, pdf.